Question

4．△ABC滿足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，$\frac{1}{3}$），則$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 9
• D． $\frac{27}{2}$

Answer 1

分析 先求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|的值，再求出x+y是定值，將$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$變形為$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+y），展開不等式再利用基本不等式的性質(zhì)從而求出最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
所以由向量的數(shù)量積公式得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin∠BAC=1，
由題意得：x+y=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+y）
=$\frac{3}{2}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）
≥$\frac{3}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）
=$\frac{27}{2}$，
等號(hào)在x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{1}{3}$取到，所以最小值為$\frac{27}{2}$，．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用和余弦定理，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．