Question

一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是

1

3

．
（1）求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；
（2）求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列；
（3）這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由ξ～B(5，

1

3

)，能求出這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列．
（2）η=k（k=0，1，2，3，4），也就是說(shuō){前k個(gè)是綠燈，第k+1個(gè)是紅燈}，η=5，也就是說(shuō)（5個(gè)均為綠燈），則P（η=k）=(

2

3

)k•

1

3

，k=0，1，2，3，4，由此能求出這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列．
（3）利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

解答： 解：（1）由于ξ～B(5，

1

3

)，
則P（ξ=k）=

C

k 5

(

1

3

)k(

2

3

)5-k，k=0，1，2，3，4，5；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

（2）η=k（k=0，1，2，3，4），
也就是說(shuō){前k個(gè)是綠燈，第k+1個(gè)是紅燈}，η=5，
也就是說(shuō)（5個(gè)均為綠燈），
則P（η=k）=(

2

3

)k•

1

3

，k=0，1，2，3，4；
P（η=5）=(

2

3

)5=

32

243

；
所以η的分布列為：

η	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	8 81	16 243	32 243

（3）所求概率P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(

2

3

)5=

211

243

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題．