Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，BB₁=3，∠ABC=90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB₁上的動點(diǎn)，當(dāng)AD+DC₁最小時，三棱錐D-ABC₁的體積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁展開成矩形ACC₁A₁，如圖，連結(jié)AC₁，交BB₁于D，此時AD+DC₁最小，當(dāng)AD+DC₁最小時，BD=1，此時三棱錐D-ABC₁的體積：${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁展開成矩形ACC₁A₁，如圖，
連結(jié)AC₁，交BB₁于D，此時AD+DC₁最小，
∵AB=1，BC=2，BB₁=3，∠ABC=90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB₁上的動點(diǎn)，
∴當(dāng)AD+DC₁最小時，BD=1，
此時三棱錐D-ABC₁的體積：
${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{B}_{1}{C}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BD×{B}_{1}{C}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．