Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，寫出與的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后再求得切點(diǎn)坐標(biāo)，最后寫出切線方程即可；

（Ⅱ）對a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系等價(jià)于與的大小關(guān)系，

令，通過研究的單調(diào)性和極值，進(jìn)而可得，從而可得結(jié)果.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

所以，，因此，

又因?yàn)?/span>，所以切點(diǎn)為，

所以切線方程為；

（Ⅱ），，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以；

（1）當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，故，

此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)不存在最小值；

（2）當(dāng)，即時(shí)，

令，因?yàn)?/span>，所以，

與在上的變化情況如下：

		0	+
	↘	極小值	↗

所以當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，

并且，

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在最小值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系等價(jià)于與的大小關(guān)系，

下面比較與的大小關(guān)系：

令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，

故，即，故，所以.