Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）
（Ⅰ） 當(dāng)a₂=-1時(shí)，求λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，求出其通項(xiàng)公式，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，（n=1，2，3…）∴λ=

3

2

，故a3=-

3

2

a2+22，所以a3=

11

2

．
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16，
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程沒(méi)有實(shí)根，故不存在λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²-10λ+16）=（2λ-4）²
解得：λ=4．∴a_n+1=a_n+2ⁿ

∴a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 … an-an-1=2n-1

將n-1個(gè)式子相加，a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1，∴an=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2n（n≥2，n∈N）
又n=1，a₁=2符合條件，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2，故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ