Question

1．已知橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的半焦距c=1，且a=$\sqrt{2}$b．
（1）求橢圓D的標準方程；
（2）過點M（0，m）且斜率為$\sqrt{2}$的直線l與橢圓D有兩個不同的交點P和Q，若以PQ為直徑的圓經過原點O，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=1，且a=$\sqrt{2}$b＞0，又a²=b²+c²，聯立解出即可得出橢圓D的標準方程．
（2）由題意易知：直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+m．與橢圓方程聯立可得：5x²+4$\sqrt{2}$mx+2（m²-1）=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由以PQ為直徑的圓經過原點O可得：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．利用根與系數的關系代入即可解出．

解答 解：（1）由題意可知：c=1，且a=$\sqrt{2}$b＞0，又a²=b²+c²，
聯立解得c=1，b=1，a=$\sqrt{2}$
所求橢圓D的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由題意易知：直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+m．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化簡整理可得：5x²+4$\sqrt{2}$mx+2（m²-1）=0，
由△=$（4\sqrt{2}m）^{2}$-4×5×2（m²-1）=40-8m²＞0，可得：$-\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∴x₁+x₂=$-\frac{4\sqrt{2}m}{5}$，x₁x₂=$\frac{2（{m}^{2}-1）}{5}$．
由以PQ為直徑的圓經過原點O可得：OP⊥OQ．
從而$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$（\sqrt{2}{x}_{1}+m）$$（\sqrt{2}{x}_{2}+m）$=3x₁x₂+$\sqrt{2}m$（x₁+x₂）+m²
=3×$\frac{2（{m}^{2}-1）}{5}$+$\sqrt{2}$m×（-$\frac{4\sqrt{2}m}{5}$）+m²=$\frac{3}{5}{m}^{2}$-$\frac{6}{5}$=0，
解得：m=$±\sqrt{2}$，滿足△＞0．
故所求實數m的值為$±\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、向量垂直于數量積之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．