Question

11．如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A為BE的中點．將△EDA沿AD折到△PDA位置（如圖2），連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個四棱錐P-ABCD．

（Ⅰ）求證AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD，求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出ABCD為平行四邊形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，從而AD⊥平面PAB，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）利用等體積方法，求點C到平面PBD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：在圖1中，因為AB∥CD，AB=CD，
所以ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，
因為∠B=90°，所以AD⊥BE，
當(dāng)三角形EDA沿AD折起時，AD⊥AB，AD⊥AE，
即：AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，所以AD⊥平面PAB，
又因為PB?平面PAB，所以AD⊥PB．---------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：PA⊥平面ABCD，${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}$，
∵$PD=BD=PB=\sqrt{2}$，∴${S_{△PBD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵PA=1，設(shè)點C到平面PBD的距離為h
∴V_C-PBD=V_P-BCD，∴$\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
答：點C到平面PBD的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．------------------------------------（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點C到平面PBD的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．