Question

20．函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，且滿足對于定義域內任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（1）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明．
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解關于x的不等式f（3x+1）+f（-6）≤3．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂ =1，可得f（1）的值．
（2）令x₁ =x₂ =-1，求得f（-1）=0，令x₁ =-1，x₂ =x，可得f（-x）=f（x），從而得出結論．
（3）由題意可得不等式等價于f[-6（3x+1）]≤3，即f（|-6（3x+1）|）≤f（64），故有|-6（3x+1|≤3，且3x+1≠0，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）令x₁=x₂ =1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
（2）令x₁ =x₂ =-1，則f（-1）=0，令x₁ =-1，x₂ =x，可得f（-x）=f（x），
又定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）∵f（4）=1，又f（x₁ •x₂ ）=f（x₁ ）+f（x₂），
∴f（4）+f（4）=f（4×4）=f（16），
∴f（16）+f（4）=f（16×4）=f（64），
∴f（64）=f（4）+f（4）+f（4），∴f（64）=3．
∴f（3x+1）+f（-6）≤3，等價于f[-6（3x+1）]≤3，
∴f（|-6（3x+1）|）≤f（64），
∴|-6（3x+1|≤3 且3x+1≠0，
解得x∈[-$\frac{35}{9}$，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，$\frac{29}{9}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性的應用，屬于中檔題．