Question

5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中點．
（1）求證：A₁C∥平面AD₁E；
（2）在對角線A₁C上是否存在點P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．
（3）求三棱錐B₁-AD₁E體積．

Answer 1

分析 （1）連結A₁D，交AD₁于點F，連結EF，推導出EF∥A₁C，A₁C∥平面AD₁E．
（2）推導出AD₁⊥A₁D，CD⊥AD₁，從而AD₁⊥平面A₁CD，進而平面AD₁E⊥平面A₁CD，作DP⊥A₁C于P，得到DP⊥EF，從而DP⊥平面AD₁E，由Rt△A₁CD∽Rt△DCP，得CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此求出當CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，DP⊥平面AD₁E．
（3）連結B₁C，矩形A₁B₁CD中，過B₁作DP的平行線交EF于Q，B₁到平面AD₁E的距離為B₁Q，由此能求出三棱錐B₁-AD₁E體積．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（1）連結A₁D，交AD₁于點F，連結EF．…（1分）
因為四邊形ADD₁A₁是正方形，所以F是A₁D的中點，又E是CD的中點，
所以EF∥A₁C．…（2分）
因為EF?平面AD₁E，A₁C?平面AD₁E，
所以A₁C∥平面AD₁E．…（4分）
解：（2）在對角線A₁C上存在點P，且CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，使得DP⊥平面AD₁E．
證明如下：因為四邊形ADD₁A₁是正方形，所以AD₁⊥A₁D．
因為CD⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，所以CD⊥AD₁．
因為A₁D∩CD=D，所以AD₁⊥平面A₁CD．…（7分）
因為AD₁?平面AD₁E，所以平面AD₁E⊥平面A₁CD．…（8分）
作DP⊥A₁C于P，因為EF∥A₁C，所以DP⊥EF．
因為DP?平面A₁CD，平面A₁CD∩平面AD₁E=EF，
所以DP⊥平面AD₁E．…（9分）
由Rt△A₁CD∽Rt△DCP，得CP=$\frac{C{D}^{2}}{{A}_{1}C}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以當CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，DP⊥平面AD₁E．…（10分）
（3）連結B₁C，矩形A₁B₁CD中，過B₁作DP的平行線交EF于Q，
由（2）知DP⊥平面AD₁E，由題意知B₁Q⊥平面AD₁E，
故B₁到平面AD₁E的距離為B₁Q=$\frac{3}{2}DP=\frac{\sqrt{6}}{2}$，…（12分）
${S}_{△A{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×A{D}_{1}×EF$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（\frac{1}{2}×\sqrt{3}）$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，…（13分）
∴${V}_{{E}_{1}-A{D}_{1}E}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{D}_{1}E}×{B}_{1}Q$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{1}{4}$．…（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．