Question

2．當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（1）方程x²-ax+a²+2=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2；
（2）方程ax²+3x+4a=0的兩根都小于1；
（3）方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²-ax+a²+2，由題意可得f（2）＜0，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）分當(dāng)a=0時(shí)、當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a＜0時(shí)三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍，再取并集，即得所求．
（3）構(gòu)造函數(shù)，利用f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，建立不等式組，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由于關(guān)于x的方程x²-ax+a²+2=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2，
令f（x）=x²-ax+a²+2，
可得f（2）=a²-2a+6＜0，無解；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程即3x=0，求得 x=0，不滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)f（x）=ax²+3x+4a，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-16{a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{f（1）=3+5a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{3}{4}$．
當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)g（x）=ax²+3x+4a，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-16{a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{g（1）=3+5a＜0}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
綜上可得，a的范圍為（0，$\frac{3}{4}$]．
（3）設(shè)f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，∵x₁、x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-2＞0}\\{{a}^{2}-2a-8＜0}\\{{a}^{2}-3a＞0}\end{array}\right.$，
∴-2＜a＜-1或3＜a＜4．
∴a的取值范圍是{a|-2＜a＜-1或3＜a＜4}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．