Question

13．已知已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸，y軸分別交于A，B兩點，M是直線l與橢圓C的一個公共點，若$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，則該橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 求出A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點M，再由向量的共線知識，即可得到答案．

解答 解：由于直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A，B，
則A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），
$\left\{\begin{array}{l}{y=ex+a}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$消去y，
由e=$\frac{c}{a}$，得x²+2cx+c²=0，
解得M（-c，a-ec），
由|AM|=e|AB|，即有$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，即為
（-c+$\frac{a}{e}$，a-ec）=e（$\frac{a}{e}$，a），
即有a-ec=ae，由e=$\frac{c}{a}$可得1-e²=e，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負(fù)的舍去），
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．