Question

6．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，由已知及ABCD為菱形得到PO⊥AB，CO⊥AB．再由線面垂直的判定得到
AB⊥平面PCO，從而得到AB⊥PC；
（Ⅱ）通過解直角三角形求得PO⊥OC，又PO⊥AB，得到PO為四棱錐P-ABCD的高，求出底面菱形的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO．
∵AP=BP，∴PO⊥AB，
又四邊形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB．
又PO∩CO=O，
∴AB⊥平面PCO，又PC?平面PCO，∴AB⊥PC；
（Ⅱ）解：∵$PA=PB=\sqrt{2}，AB=2$，
∴∠APB=90°，∴PO=1．
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴$OC=\sqrt{3}$，又PC=2，∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥OC，又PO⊥AB，
∴PO為四棱錐P-ABCD的高，
∵∠BCD=120°，AB=2，
∴菱形ABCD的面積為$2×\frac{1}{2}×2×2sin120°=2\sqrt{3}$．
則所求棱錐體積為$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．