Question

18．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過M（2，2e），N（2e，$\sqrt{3}$）兩點，其中e為橢圓的離心率，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將M（2，2e），N（2e，$\sqrt{3}$）兩點代入橢圓方程求得橢圓方程．
（2）利用$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得到x₁x₂+y₁y₂=0，直線和橢圓聯(lián)立方程解得$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，繼而求得所需參數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}}=1}\\{\frac{4{c}^{2}}{{a}^{4}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=4}\\{\frac{4（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{4}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=4}\\{{a}^{2}=8}\end{array}\right.$⇒$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$…5分
（ II）假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x²+y²=r²，其中0＜r＜2．
設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點
當(dāng)直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y=kx+m
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為$r=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$①
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0⇒$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{2{k}^{2}+1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}+{m}^{2}）$=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
要使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，
所以3m²-8k²-8=0，②…（9分）
${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}}{1+\frac{3{m}^{2}-8}{8}}=\frac{8}{3}$，$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所求的圓為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{8}{3}$，…（10分）
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為$x=±\frac{2\sqrt{6}}{3}$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的兩個交點為$（\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$或$（-\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$滿足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（12分）
綜上，存在圓心在原點的圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{8}{3}$，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．…（13分）

點評 本題主要考查了直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，在高考中屬壓軸題目，難度較大．