Question

8．雙“十一”結(jié)束之后，某網(wǎng)站針對購物情況進(jìn)行了調(diào)查，參與調(diào)查的人主要集中在[20，50]歲之間，若規(guī)定：購物600（含600元）以下者，稱為“理智購物”，購物超過600元者被網(wǎng)友形象的稱為“剁手黨”，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

分組編號	年齡分組	球迷	所占比例
1	[20，25）	1000	0.5
2	[25，30）	1800	0.6
3	[30，35）	1200	0.5
4	[35，40）	a	0.4
5	[40，45）	300	0.2
6	[45，50]	200	0.1

若參與調(diào)查的“理智購物”總?cè)藬?shù)為7720人．
（1）求a的值；
（2）從年齡在[20，35）的“剁手黨”中按照年齡區(qū)間分層抽樣的方法抽取20人；
①從這20人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好屬于同一年齡區(qū)間的概率；
②從這20人中隨機(jī)抽取2人，用ζ表示年齡在[20，25）之間的人數(shù)，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析 （1）由“理智購物”者總?cè)藬?shù)為7720人，結(jié)合題意列出方程，由此能求出a的值．
（2）①年齡在[20，35）的“剁手黨”有4000人，則年齡在區(qū)間[20，25）的應(yīng)該抽取5人，年齡在區(qū)間[25，30）的應(yīng)該抽取9人，年齡在區(qū)間[30，35）的應(yīng)該抽取6人，由此能求出從這20人中隨機(jī)抽取2人，這2人屬于同一年齡區(qū)間的概率．
②由題意可知ξ的取值可能為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由“理智購物”者總?cè)藬?shù)為7720人，
可得：1000+1800×$\frac{1-0.6}{0.6}$+1200+a×$\frac{1-0.4}{0.4}$+300×$\frac{1-0.2}{0.2}$+200×$\frac{1-0.1}{0.1}$=7720，
解得a=880．…（4分）
（2）①年齡在[20，35）的“剁手黨”共有1000+1800+1200=4000人，
則年齡在區(qū)間[20，25）的應(yīng)該抽取5人，年齡在區(qū)間[25，30）的應(yīng)該抽取9人，年齡在區(qū)間[30，35）的應(yīng)該抽取6人．…（6分）
從這20人中隨機(jī)抽取2人，這2人屬于同一年齡區(qū)間的概率為：
P=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{9}^{2}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{61}{190}$．…（8分）
②由題意可知ξ的取值可能為0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

E（ξ）=$0×\frac{21}{38}+1×\frac{15}{38}+2×\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．