Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值，解方程，即可得到所求范圍；
（3）由題意可得$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-[f（{x}_{2}）+2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+2x，則g（x）在（0，+∞）遞增，求出導(dǎo)數(shù)，對x討論，若x=$\frac{1}{2}$時，若x＞$\frac{1}{2}$時，若0＜x＜$\frac{1}{2}$時，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=0，
切點為（1，-2），
則切線方程為y=-2；
（2）當(dāng)a＞0時，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$即a≥2時，在[1，e]上，f′（x）＞0，f（x）遞增，
f（1）最小，且為-2，則a-a-2+ln1=-2，成立；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$≤1，即為1≤a＜2時，在[1，e]上，f′（x）＞0，f（x）遞增，
f（1）最小，且為-2，則a-a-2+ln1=-2，成立；
當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$≤e即為$\frac{1}{e}$≤a＜1時，f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]遞減，[$\frac{1}{a}$，e]遞增，則x=$\frac{1}{a}$取得最小值，且為
$\frac{1}{a}$-1-$\frac{2}{a}$+ln$\frac{1}{a}$=-2，即有1-$\frac{1}{a}$=lna，由y=lnx和y=1-$\frac{1}{x}$的圖象可得交點為（1，0），
則a∈∅；
當(dāng)$\frac{1}{a}$＞e即為0＜a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e]遞減，即有f（e）=-2，即為ae²-（a+2）e+1=-2，
解得a=$\frac{2e-3}{{e}^{2}-e}$＜0，故不成立．
綜上可得，a≥1；
（3）對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-2恒成立，
即為$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-[f（{x}_{2}）+2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+2x，則g（x）在（0，+∞）遞增，
由g′（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$≥0恒成立，若x=$\frac{1}{2}$時，顯然成立；
若x＞$\frac{1}{2}$時，a≥$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$恒成立，即有a≥0；
若0＜x＜$\frac{1}{2}$時，a≤$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$恒成立，由$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{-2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，取得最小值8，即有a≤8．
綜上可得，0≤a≤8．
則a的取值范圍是[0，8]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式恒成立問題，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．