Question

4．如圖：二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成角為45°，則AB與平面β所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．    

Answer 1

分析 根據(jù)二面角和直線和平面所成角的定義，先作出對應(yīng)的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進行求解即可．

解答 解：過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線，垂足為D．
連結(jié)AD，根據(jù)三垂線定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC為二面角α-l-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB與l所成角為45°，
∴∠ABD=45°
連結(jié)BC，可得BC為AB在平面β內(nèi)的射影，
∴∠ABC為AB與平面β所成的角．
設(shè)AD=2x，則Rt△ACD中，AC=ADsin60°=$\sqrt{3}x$，
Rt△ABD中，AB=$\frac{AD}{sin45°}=2\sqrt{2}x$，
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查線面垂直的定義與性質(zhì)、二面角的平面角的定義和直線與平面所成角的定義及求法等知識．