Question

3．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，邊c=$\frac{7}{2}$，且tanA+tanB=$\sqrt{3}$tanA•tanB-$\sqrt{3}$，又△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 由已知利用兩角和的正切函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，誘導公式化簡可得$tanC=\sqrt{3}$，結(jié)合C∈（0，π），可得C的值，利用三角形的面積公式可求ab=6，又由余弦定理可得${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，進而可解得a+b的值．

解答 解：∵由$tanA+tanB=\sqrt{3}tanA•tanB-\sqrt{3}$，
∴可得$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}=-\sqrt{3}$，即$tan（A+B）=-\sqrt{3}$．
∴$tan（π-C）=-\sqrt{3}$，
∴$-tanC=-\sqrt{3}$，
∴$tanC=\sqrt{3}$．
∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．
又∵△ABC的面積為${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴ab=6．
又∵由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴${（\frac{7}{2}）^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，
∴${（\frac{7}{2}）^2}={a^2}+{b^2}-ab={（a+b）^2}-3ab$，
∴${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，
∵a+b＞0，
∴$a+b=\frac{11}{2}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，誘導公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．