Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+m|+|x-$\frac{1}{m}}$|，其中m＞0．
（1）當m=1時，解不等式f（x）≤4；
（2）若a∈R，且a≠0，證明：f（-a）+f（${\frac{1}{a}}$）≥4．

Answer 1

分析 （1）去絕對值符號，對x討論，分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1，解不等式即可得到所求解集；
（2）求出f（-a）+f（${\frac{1}{a}}$）的解析式，運用絕對值不等式的性質和累加法，即可得證．

解答 解：（1）當m=1時，由f（x）=|x+1|+|x-1|，
由f（x）≤4得|x+1|+|x-1|≤4?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+1-x≤4}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ x+1-x+1≤4\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x+1+x-1≤4\end{array}\right.?-2≤x＜-1$或-1≤x≤1或1＜x≤2，
可得不等式的解集為[-2，2]；
（2）證明：$f（{-a}）+f（{\frac{1}{a}}）=|{-a+m}|+|{-a-\frac{1}{m}}|+|{\frac{1}{a}+m}|+|{\frac{1}{a}-\frac{1}{m}}|$，
|-a+m|+|$\frac{1}{a}$+m|≥|$\frac{1}{a}$+a|=$\frac{1}{|a|}$+|a|≥2，
|-a-$\frac{1}{m}$|+|$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{m}$|≥|$\frac{1}{a}$+a|=$\frac{1}{|a|}$+|a|≥2，
兩式相加可得，f（-a）+f（${\frac{1}{a}}$）≥4．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質，注意運用分類討論和累加法，考查運算能力，屬于中檔題．