Question

12．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁、a₂的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}（{a_n}+3）}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的前兩項，推出$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，得到$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是以1為首項1為公差的等差數(shù)列．然后求解a_n=2n-1，n∈N^*．
（2）利用裂項法求出數(shù)列的和，即可證明結(jié)果．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，$2\sqrt{a_1}={a_1}+1$，又a₁＞0，則a₁=1．
同理求得a₂=3，．…（2分）
由$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$，n≥2時，$2\sqrt{S_n}={S_n}-{S_{n-1}}+1$，即${（{\sqrt{S_n}-1}）^2}={S_{n-1}}$，又a_n＞0易知$\sqrt{S_n}-1＞0$，則$\sqrt{S_n}-1=\sqrt{{S_{n-1}}}$，即$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，所以$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是以1為首項1為公差的等差數(shù)列．
所以$\sqrt{S_n}=n$，代入$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$得a_n=2n-1，n∈N^*．…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，
所以${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+2}）}}＜$$\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…（9分）
則${T_n}＜\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$．
所以${T_n}＜\frac{1}{2}$．…（13分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查計算能力．