Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的直角坐標(biāo)和的值．

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為（2）弦的中點(diǎn)，

【解析】

(1)消去參數(shù)t可得直線的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的方法可得圓的直角坐標(biāo).

(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義和韋達(dá)定理即可確定中點(diǎn)坐標(biāo)和的值.

（1）由（為參數(shù)），得直線的普通方程為．

又由得圓的直角坐標(biāo)方程為，即，

．

（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，

得，即．

由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，則

又直線過點(diǎn)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

弦的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，

代入?yún)��?shù)方程中得其直角坐標(biāo)為

．