Question

2．已知拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0），過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為（0，$\frac{1}{4}$），求該拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)A、B分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l₁、l₂，交于點(diǎn)M，以線(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將拋物線(xiàn)的方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)，可得a=1；
（Ⅱ）顯然直線(xiàn)l的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，代入拋物線(xiàn)的方程，化為x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由切線(xiàn)方程的求法，求得兩直線(xiàn)的切線(xiàn)的方程，解方程可得M（$\frac{k}{2a}$，-1）．求得向量MA，MB的坐標(biāo)，再由題意可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，運(yùn)用數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，由恒成立思想即可得到a的值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）即為
x²=$\frac{1}{a}$y，焦點(diǎn)為（0，$\frac{1}{4a}$），由題意可得$\frac{1}{4a}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=1；
（Ⅱ）顯然直線(xiàn)l的斜率存在，
故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，得ax²-kx-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{a}$．
∵拋物線(xiàn)C的方程為y=ax²，
求導(dǎo)得y′=2ax，
∴過(guò)拋物線(xiàn)C上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別是y-ax₁²=2ax₁（x-x₁），
y-ax₂²=2ax₂（x-x₂），
即 y=2ax₁x-ax₁²，y=2ax₂x-ax₂²，
解得兩條切線(xiàn)l₁、l₂的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，ax₁x₂），
即M（$\frac{k}{2a}$，-1）．
則$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$，ax₁²+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-$\frac{k}{2a}$，ax₂²+1），
由線(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$）（x₂-$\frac{k}{2a}$）+（ax₁²+1）（ax₂²+1）=0，
即有x₁x₂-$\frac{k}{2a}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4{a}^{2}}$+a²x₁²x₂²+a[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1=0，
即（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$）k²+（4-$\frac{1}{a}$）=0，
由恒成立思想可得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$=0，且4-$\frac{1}{a}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查拋物線(xiàn)的方程和切線(xiàn)，考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．