Question

2．已知拋物線C：y=ax²（a＞0），過點P（0，1）的直線l交拋物線C于A、B兩點．
（Ⅰ）若拋物線C的焦點為（0，$\frac{1}{4}$），求該拋物線的方程；
（Ⅱ）已知過點A、B分別作拋物線C的切線l₁、l₂，交于點M，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點M，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將拋物線的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點，可得a=1；
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入拋物線的方程，化為x的方程，運用韋達(dá)定理，再由切線方程的求法，求得兩直線的切線的方程，解方程可得M（$\frac{k}{2a}$，-1）．求得向量MA，MB的坐標(biāo)，再由題意可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，運用數(shù)量積為0，化簡整理，由恒成立思想即可得到a的值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y=ax²（a＞0）即為
x²=$\frac{1}{a}$y，焦點為（0，$\frac{1}{4a}$），由題意可得$\frac{1}{4a}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=1；
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，得ax²-kx-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{a}$．
∵拋物線C的方程為y=ax²，
求導(dǎo)得y′=2ax，
∴過拋物線C上A、B兩點的切線方程分別是y-ax₁²=2ax₁（x-x₁），
y-ax₂²=2ax₂（x-x₂），
即 y=2ax₁x-ax₁²，y=2ax₂x-ax₂²，
解得兩條切線l₁、l₂的交點M的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，ax₁x₂），
即M（$\frac{k}{2a}$，-1）．
則$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$，ax₁²+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-$\frac{k}{2a}$，ax₂²+1），
由線段AB為直徑的圓經(jīng)過點M，可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$）（x₂-$\frac{k}{2a}$）+（ax₁²+1）（ax₂²+1）=0，
即有x₁x₂-$\frac{k}{2a}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4{a}^{2}}$+a²x₁²x₂²+a[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1=0，
即（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$）k²+（4-$\frac{1}{a}$）=0，
由恒成立思想可得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$=0，且4-$\frac{1}{a}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的方程和切線，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．