11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,7Sn=8an-2對(duì)于n∈N*恒成立,且bn=log2an
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并證明{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅱ) 設(shè)cn=2nbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)由7Sn=8an-2對(duì)于n∈N*恒成立,∴當(dāng)n=1時(shí),7a1=8a1-2,解得a1.當(dāng)n≥2時(shí),可得an=8an-1.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an.bn=log2an=3n-2,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn
(II)cn=2nbn=(3n-2)•2n.利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(I)由7Sn=8an-2對(duì)于n∈N*恒成立,
∴當(dāng)n=1時(shí),7a1=8a1-2,解得a1=2.
當(dāng)n≥2時(shí),7Sn-1=8an-1-2,
∴7an=8an-8an-1,化為an=8an-1
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為8的等比數(shù)列,
∴${a}_{n}=2×{8}^{n-1}$=23n-2
∴bn=log2an=3n-2.
∴bn+1-bn=3(n+1)-2-3n+2=3.
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為3;
(II)cn=2nbn=(3n-2)•2n
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n,
2Tn=22+4×23+…+(3n-5)×2n+(3n-2)×2n+1,
∴-Tn=2+3(22+23+…+2n)-(3n-2)×2n+1=$2+\frac{3×4({2}^{n-1}-1)}{2-1}$-(3n-2)×2n+1=(5-3n)×2n+1-10,
∴Tn=(3n-5)×2n+1+10.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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