Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差數(shù)列，且公差相等，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁，a₂，a₅恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，記數(shù)列c_n=

1

log34bn+1•log34bn+2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先根據(jù)已知條件，和等量關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差數(shù)列，且公差相等．
則：

S2

=

2a1+d

=

a1

+d
兩邊平方得：2a1+d=a1+2d

a1

+d2①
同理：

S3

=

3a1+3d

=

a1

+2d
兩邊平方得：3a1+3d=a1+4d

a1

+4d2②
②-①得：a1=2d

a1

+3d2-2d③
把③代入①解得：d=

1

2

或0（0舍去）
故進(jìn)一步解得：a1=

1

4

所以：an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

1

2

n-

1

4

（2）由（1）得：an=

1

2

n-

1

4

，a₁，a₂，a₅恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
解得：b₁=a1=

1

4

，b₂=a2=

3

4

，b₃=a5=

9

4

，
所以：數(shù)列bn=

1

4

•3n-1
c_n=

1

log34bn+1•log34bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

T_n=c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用．屬于中檔題型．