Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀） （a為常數(shù)）．
（1）求拋物線方程；
（2）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B（A、B兩點(diǎn)不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），若

BM

=λ

MA

，求證：線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)λ=1，k₁＜0時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求：∠PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意設(shè)出拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)求其過點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線方程，結(jié)合已知的切線方程求得p的值，在拋物線方程可求；
（2）由直線方程的點(diǎn)斜式寫出PA的方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），且

BM

=λ

MA

證得答案；
（3）由λ=1，P（1，-1）求得a=-1，求出A，B的坐標(biāo)，得到向量

AP

，

AB

的坐標(biāo)，由∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線可得

AP

•

AB

＜0，進(jìn)一步得到k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．再由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)yA=-(k1+1)2求其范圍．

解答： （1）解：由題意為設(shè)拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），
∵過點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀），
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
∴p=-

1

2a

．
則拋物線的方程為y=ax²（a＜0）；
（2）證明：直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），
由

y=ax2 y-y0=k1(x-x0)

，得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，
∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，
∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

（λ≠0，λ≠1），
∴x_M-x₀=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

．
∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上．
（3）解：由λ=1，P（1，-1），可知a=-1，
∴A(-k1-1，-(k1+1)2)，B(k1-1，-(k1-1)2)．
∴

AP

=(2+k1，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線，
∴

AP

•

AB

＜0，
即(2+k1)•2k1+(k12+2k1)•4k1＜0．
∴k1(2k12+5k1+2)＜0．
∵k₁＜0，∴2k12+5k1+2＞0，
∴k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．
又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)yA=-(k1+1)2，
∴當(dāng)k₁＜-2時(shí)，y_A＜-1；
當(dāng)-

1

2

＜k₁＜0時(shí)，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍為(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用平面向量解決圓錐曲線問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了計(jì)算能力，是壓軸題．