Question

已知函數f（x）=alnx-

1

x

，（其中a∈R）
（1）設h（x）=f（x）+x，討論h（x）的單調性．
（2）若函數f（x）有唯一的零點，求a取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由h′（x）=

a

x

+

1

x2

+1=

x2+ax+1

x2

，利用單調性與導數值的關系，通過討論a的值得出函數的單調性；
（2）利用根的存在性定理判斷函數的零點以及利用導數判斷函數的單調性及最值，通過分類討論求出字母的取值范圍．

解答： 解：（1）h（x）=alnx-

1

x

+x，定義域為（0，+∞），----------1分
h′（x）=

a

x

+

1

x2

+1=

x2+ax+1

x2

--------------------------------2分
令g（x）=x²+ax+1，判別式△=a²-4，
當△≤0即-2≤a≤2時，g（x）≥0，h′（x）≥0，此時h（x）在（0，+∞）上單調遞增；-----4分
當△＞0即a＜-2或a＞2時，由g（x）=0得x₁=

-a- a2-4

2

，x₂=

-a+ a2-4

2

，------------5分
若a＞2，則x₁＜0，又x₁x₂=1＞0，所以x₂＜0，故h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增；--------------------------------6分
若a＜-2，則x₂＞0，又x₁x₂=1＞0所以x₁＞0，此時，當x∈（0，x₁）時，h′（x）＞0，
當x∈（x₁，x₂）時，h′（x）＜0，當x∈（x₂，+∞）時，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；--------------7分
綜上所述，當a≥-2時，h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜-2時，h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；--------------8分
（2）f′（x）=

a

x

+

1

x2

=

ax+1

x2

（x＞0），
當a=0時，f（x）=-

1

x

=0無實數根，此時函數f（x）無零點；-----------------------------------9分
當a＞0時，f′（x）＞0，f（1）=-1＜0，而f（e

1

a

）=1-e-

1

a

＞0，
根據零點的存在性定理，f（x）在（0，+∞）上只有唯一的零點，------------------------------11分
當a＜0時，x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0，x∈（-

1

a

，+∞時，f′（x）＜0，
故f（x）有極大值，也是最大值f（-

1

a

），
又x→0或x→+∞時，f（x）→-∞，
因此f（x）有唯一零點等價于其最大值為f（-

1

a

）=0，即aln（-

1

a

）+a=0，解得a=-e．
綜上所述，若函數f（x）有唯一的零點則a的取值范圍是a=-e或a＞0．----------------------------14分

點評：本題考查了函數導數與單調性、極值、最值、函數零點等基礎知識，考查函數與方程的思想，數形結合思想，轉化與化歸思想以及考生的推理論證能力．