Question

9．已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（x）＜0（x＞0）．試判斷F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（0，+∞） 上的單調(diào)性并給出證明過(guò)程．

Answer 1

分析 首先，設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性進(jìn)行證明即可．

解答 解：函數(shù)F（x）=$\frac{1}{f（x）}$為（0，+∞）上減函數(shù)，證明如下：
任設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
F（x₁）-F（x₂）=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$-$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
∵f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
∴f（x₁）•f（x₂）＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），
則F（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．，屬于中檔題．