Question

8．若方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)根，則函數(shù)f（x）不可能是（　�。�

• A． f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x
• B． f（x）=x³
• C． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x
• D． f（x）=x²+$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 結(jié)合圖象判斷A，C，解方程判斷B，D即可．

解答 解：若方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)根，
即函數(shù)f（x）和y=x的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，
對(duì)于A，畫(huà)出函數(shù)f（x）和y=x的圖象，如圖所示：
，
顯然有1個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)根；
對(duì)于B，令x³-x=0，即x（x+1）（x-1）=0，
解得：x=-1，0，1，3
故方程f（x）-x=0有3個(gè)根；
對(duì)于C，畫(huà)出函數(shù)f（x）=2^-x和y=x的圖象，如圖所示：
，
結(jié)合圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
即方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)根；
對(duì)于D，令f（x）-x=0，即x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
則△=1-1=0，
故方程只有1個(gè)解，
即方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)根；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．