Question

20．已知函數(shù)f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$，g（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²．
（1）求證：f（$\frac{π}{2}$-x）=g（x）；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，π]）的單調(diào)區(qū)間，并求使h（x）取到最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）進(jìn)行化簡，求出f（$\frac{π}{2}$-x），化簡g（x），即可證明．
（2）根據(jù)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）求解h（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求（x∈[0，π]）的單調(diào)區(qū)間以及h（x）取到最小值時(shí)x的值．

解答 解：（1）證明：f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$=1+cos x，
那么：f（$\frac{π}{2}$-x）=1+cos（$\frac{π}{2}-x$）=1+sinx
∵g（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²．
=1+2sin $\frac{x}{2}$cos $\frac{x}{2}$
=1+sin x，
∴f（$\frac{π}{2}$-x）=g（x）；
命題得證．
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=cos x-sin x=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）
∵x∈[0，π]，
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
當(dāng)$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤π，即0≤x≤$\frac{3π}{4}$時(shí)，h（x）遞減，
當(dāng)π≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，即$\frac{3π}{4}$≤x≤π時(shí)，h（x）遞增．
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，$\frac{3π}{4}$]．
單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{3π}{4}$，π]．
根據(jù)函數(shù)h（x）的單調(diào)性，可知當(dāng)x=$\frac{3π}{4}$時(shí)，
函數(shù)h（x）取到最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．