【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

(1) 求實數(shù)的值;

(2) 判斷并用定義證明該函數(shù)在定義域上的單調性;

(3) 若方程內有解,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)1;(2)見解析;(3)[-1,3).

【解析】

(1)根據(jù)解得,再利用奇偶性的定義驗證,即可求得實數(shù)的值;(2)先對分離常數(shù),判斷出為遞減函數(shù),再利用單調性的定義作差證明即可;(3)先用函數(shù)的奇函數(shù)性質,再用減函數(shù)性質變形,然后分離參數(shù)可得,內有解,令,只要.

(1)依題意得,,故,此時,

對任意均有,

所以是奇函數(shù),所以.

(2)上是減函數(shù),證明如下:任取,則

所以該函數(shù)在定義域上是減函數(shù).

(3)由函數(shù)為奇函數(shù)知,

,

又函數(shù)是單調遞減函數(shù),從而,

即方程內有解,

,只要,

, 且,∴

∴當時,原方程在內有解.

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【題目】定義區(qū)間的長度均為,多個互無交集的區(qū)間的并集長度為各區(qū)間長度之和,例如的長度。用表示不超過的最大整數(shù),例如。記。設,,若用分別表示不等式、方程和不等式解集區(qū)間的長度,則當時,____________.

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