Question

如圖，半徑都為1的三個(gè)圓兩兩相交，

AB

，

BC

，

AC

的長(zhǎng)度相等，

CD

的長(zhǎng)度為

π

2

，在圖中任一圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（　　）

• A、

  12π

  7π+2 3 +6

• B、

  8π

  7π+2 3 +6

• C、

  10π

  7π+2 3 +6

• D、

  6π+12

  7π+2 3 +6

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)

AB

，

BC

，

AC

的長(zhǎng)度相等，

CD

的長(zhǎng)度為

π

2

，可知

CD

所對(duì)的圓心角α=

π

2

，從而可得圖中陰影部分的面積為

3

2

π+3，空白部分面積為

2 3 +π-6

4

，即得結(jié)論．

解答： 解：如圖：因?yàn)?span id="vdxad0a" class="MathJye">

CD

=α•R=

π

2

，所以α=

π

2

，
故圖中陰影部分的面積為

π

4

-

1

2

．
所以可得原題中陰影部分的面積為3π-3[2(

π

4

-

1

2

)]=

3

2

π+3．
又因?yàn)?span id="k5gpkdf" class="MathJye">

AB

，

BC

，

AC

的長(zhǎng)度相等，
故△ABC為等邊三角形，
則∠EBC=∠BCD=

π

6

，
又∠OCD=

π

4

，
所以∠OCB=∠OCD-∠BCD=

π

4

-

π

6

=

π

12

，
從而∠BOC=∠EBC-∠OCB=

π

6

-

π

12

=

π

12

，
所以BO=BC=AB=AC，
設(shè)其長(zhǎng)度為x，則CE=

x

2

，BE=

3

2

x，
由于△COE為直角三角形，
所以

.

CO

.

2=

.

CE

.

2+

.

EO

.

2，
即1=

x2

4

+(x+

3

2

x)2，
解得x2=2-

3

．
所以原圖內(nèi)部空白區(qū)域的面積為
S_△ABC+3S_弓=

1

2

×(2-

3

)×

3

2

+3×(

1

2

×

π

6

-

1

2

×

1

2

)
=

3

4

×(2-

3

)+

π-3

4

=

2 3 +π-6

4

．
所以整個(gè)圖形的面積為

2 3 +π-6

4

+

3

2

π+3=

2 3 +7π+6

4

．
故所求概率為

3 2 π+3

2 3 +7π+6 4

=

6π+12

7π+2 3 +6

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弧長(zhǎng)公式，考查扇形的面積公式．