Question

20．已知$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx-cosx，1）$，$\overrightarrow b=（cosx，m）$，函數(shù)f（x）=$\vec a•\vec b$（m∈R）的圖象過點M（$\frac{π}{12}$，0）．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的二倍角公式及兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期和增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（Ⅱ）運用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡可得角B，即有A的范圍，可得（2A-$\frac{π}{6}$）的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=f（x）=$\vec a•\vec b$=cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+m
=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+m
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$，
由圖象過點M（$\frac{π}{12}$，0），可得f（$\frac{π}{12}$）=0，
即有sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$=0，解得m=$\frac{1}{2}$；
則f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，
可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z；
（Ⅱ）ccosB+bcosC=2acosB，
由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，
即sin（C+B）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，
即有cosB=$\frac{1}{2}$，解得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，
即有0＜A＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
則sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]．
即有f（A）的范圍是（-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查正弦定理的運用，三角函數(shù)的恒等變換公式的運用和正弦函數(shù)的周期，以及單調(diào)區(qū)間的運用，考查運算能力，屬于中檔題．