Question

1．若函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-kx（x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x-m=0在[0，1]有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x），即 log₄（1+4^x）+（k，求解值域即可得出m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-kx（x∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），即 log₄（1+4^x）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-kx，
k-1=-k，
2k=1，
即k=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x（x∈R），
∵關(guān)于x的方程f（x）+x-m=0在[0，1]有解，
∴m=log₄（4^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
令g（x）=log₄（4^x+1）+$\frac{1}{2}$x（x∈[0，1]），
根據(jù)單調(diào)性判斷g（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
g（0）=$\frac{1}{2}$，g（1）=log₄5+$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，log₄5+$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了偶函數(shù)的定義，方程的有解與函數(shù)值域問(wèn)題，屬于中檔題．