Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²+bx（a，b為常數(shù)）在x=1和x=4處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，都有2f（x）＜-5x+c，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+（a-1）x+b．）
由題設(shè)知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=1+（a-1）+b=0}\\{f′（4）=16+4（a-1）+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+4x，
（2）由題設(shè)知2f（x）＜-5x+c，
即c＞$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x．
設(shè)g（x）=$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，x∈[-2，2]，
所以c只要大于g（x）的最大值即可．
g′（x）=2x²-10x+13，
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)g′（x）＞0．
所以g（x）_max=g（2）=$\frac{34}{3}$，
所以c＞$\frac{34}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值問(wèn)題，以及參數(shù)的取值范圍即恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．