Question

在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC=2，BC=2

2

，點D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D
（Ⅱ）在棱BC上是否存在一點P，使平面APC₁與平面A₁AB所成二面角（銳角）的余弦值為

3

3

？若存在，確定P的位置，并證明之；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I） 連接A₁C，設(shè)與AC₁交于點E，連接ED，通過證明ED∥A₁B，利用直線與平面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；
（II）以A為頂點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出平面ADC₁的法向量、平面A₁AB的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合平面APC₁與平面A₁AB所成二面角（銳角）的余弦值為

3

3

，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁C，設(shè)與AC₁交于點E，連接ED
在△A₁BC中，E為A₁C的中點，D為BC的中點
∴ED∥A₁B…（3分）
∵A₁B?平面AC₁D，ED?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D…（5分）
（Ⅱ）解：當(dāng)點P為棱BC的中點時，平面APC₁與平面A₁AB所成二面角（銳角）的余弦值為

3

3

…（6分）
證明：∵A₁A⊥平面ABC
又∵AB=AC=2，BC=2

2

∴AB⊥AC
以A為頂點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz        …（7分）
設(shè)P（x，y，0）
由

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1）得P（2-2λ，2λ，0）
∴

AP

=（（2-2λ，2λ，0），

AC1

=（0，2，2）
設(shè)平面ADC₁的法向量

n1

=（x，y，z），則

(2-2λ)x+2λy=0 2y+2z=0

可取

n1

=（

λ

λ-1

，1，-1）…（10分）
平面A₁AB的法向量

n2

=（0，1，0）
由|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

3

可得λ=

1

2

即點P為棱BC的中點時，平面ADC₁與平面A₁AB所成二面角（銳角）的余弦值為

3

3

…（13分）

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題，考查直線與平面平行的判定定理，屬于中檔題．