Question

今年雙十一，淘寶網(wǎng)站一天的銷售記錄震驚全球，網(wǎng)購已經(jīng)成為人們消費(fèi)的主要形式之一．假設(shè)一淘寶網(wǎng)店出售某商品，根據(jù)人們的咨詢量預(yù)估成交額y（千元）與售價(jià)x（千元）之間滿足關(guān)系y=ax²-lnx+2（x∈（0，1））(a＞

1

2e

)，而由于價(jià)格原因未能交易成功的成交額m（千元）與售價(jià)x（千元）之間滿足關(guān)系m=x，記實(shí)際成交額為f（x）．
（1）若發(fā)現(xiàn)該商品的實(shí)際成交額一直下降，求此時(shí)a的取值范圍；
（2）證明：只要實(shí)際成交額能出現(xiàn)上升趨勢，則實(shí)際成交額一定不會(huì)小于2（千元）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，該商品的實(shí)際成交額一直下降，f′（x）＜0，即2ax²-x-1＜0對任意x∈（0，1）恒成立，分離參數(shù)求最值，即可確定a的取值范圍；
（2）由題意，f′（x）＞0在x∈（0，1）上有解，設(shè)為x₀，確定x=x₀，函數(shù)取得極小值f（x₀）=

1-x0

2

-lnx₀+2，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：由題意，f（x）=ax²-lnx-x+2，則f′（x）=

2ax2-x-1

x

，
∵該商品的實(shí)際成交額一直下降，
∴f′（x）＜0，即2ax²-x-1＜0對任意x∈（0，1）恒成立，
∴a＜

1

2

（

1

x2

+

1

x

）恒成立，
∵

1

x

∈（1，+∞），
∴

1

x2

+

1

x

＞2，
∴a≤1，
∴

1

2e

＜a≤1；
（2）證明：由題意，f′（x）＞0在x∈（0，1）上有解，設(shè)為x₀，∴a＞1，
∴2ax₀²-x₀-1=0，且x∈（0，x₀），f′（x）＜0，（x₀，1），f′（x）＞0，
∴x=x₀，函數(shù)取得極小值f（x₀）=

1-x0

2

-lnx₀+2，
∵x∈（0，1），
∴

1-x0

2

-lnx₀+2＞2，
∴實(shí)際成交額一定不會(huì)小于2（千元）．

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．