Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個端點分別為A，B且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率為

2

，若直線l與橢圓交于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過題意，利用正方形的邊長求出a，c，然后求出b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=

2

x+m，將y=

2

x+m代入橢圓的方程并化簡，由△，可得m的范圍． 設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用弦長公式求出|PQ|，點到直線的距離求出點O到PQ的距離，表示三角形的面積，利用基本不等式，即可求△OPQ面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得a=2，b=c，又a²=b²+c²，∴b²=2，
∴橢圓的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵直線l的斜率為

2

，∴可設直線l的方程為y=

2

x+m，
將y=

2

x+m代入橢圓的方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
 設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|PQ|=

[1+( 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

16-2m2

．…（7分）
又點O到PQ的距離為d=

|m|

3

，
∴S△OPQ=

1

2

•|PQ|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，…（11分）
當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號，且滿足（*）式．
∴△OPQ面積的最大值為

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程是求法，直線與橢圓的位置關系的應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．