Question

已]知f（x）=x|x-a|-2．
（1）當a=1時，解f（x）＜|x-2|；
（2）當x∈（0，1）時，f（x）＜x²-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用a=1，化簡不等式，通過x≥2，1≤x＜2，x＜1分別去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．
（2）當x∈（0，1]時，f（x）＜x²-1恒成立，轉(zhuǎn)化為a的表達式，通過函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式求出表達式的最值，得到a的范圍．

解答： 解：（1）a=1，f（x）＜|x-2|即為x|x-1|-2＜|x-2|．
①當x≥2時，上式化為x（x-1）-2＜x-2，又x≥2，∴x∈∅；
②當1≤x＜2時，由x|x-1|-2＜|x-2|，可得x（x-1）-2＜2-x，解得-2＜x＜2，
又1≤x＜2，∴1≤x＜2；
③當x＜1時，x|x-1|-2＜|x-2|可得x（1-x）-2＜2-x，解得x＜1；
綜上不等式的解集為{x|x＜2}．
（2）當x∈（0，1]時，f（x）＜x²-1即x|x-a|-2＜x²-1恒成立，
即|x-a|＜x+

1

x

，即有-

1

x

＜a＜2x+

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=-

1

x

在（0，1]上為增函數(shù)，所以g（x）_max=g（1）=-1．．
h（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

．當且僅當2x=

1

x

，即x=

2

2

取等號．
即有a的取值范圍為-1＜a＜2

2

．

點評：本題考查絕對值不等式，函數(shù)的恒成立問題注意運用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，屬于中檔題和易錯題．