已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值        
（2）求f（x）的解析式
（3）若函數(shù)g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在區(qū)間（-1，2）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）用賦值法來求函數(shù)值，因為f（1）=0，且要求f（0）的值，所以賦值時，要使等式中只含f（1），f（0），再解方程即可．
（2）因為f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），要想求f（x），只需等式中y=0即可．
（3）借助導(dǎo)數(shù)判斷，函數(shù)g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在區(qū)間（-1，2）上是減函數(shù)，也即它的導(dǎo)數(shù)在
（-1，2）上小于0恒成立，求導(dǎo)，再判斷a在什么范圍時，g'（x）≤0在（-1，2）上恒成立即可．
解答：解：（1）令x=1，y=0⇒f（1）-f（0）=2∴f（1）=0⇒f（0）=-2
（2）令y=0⇒f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2
（3）∵g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]
=（x+1）（x2+x-2）-a[（x+1）2+（x+1）-2-x]
=x3+x2-2x+x2+x-2-ax2-2ax
=x3+（2-a）x2-（1+2a）x-2
∴g'（x）=3x2+2（2-a）x-（1+2a）
g（x）在（-1，2）上是減函數(shù)即 g'（x）≤0在（-1，2）上恒成立
即3x2+2（2-a）x-（1+2a）≤0在（-1，2）上恒成立  令
g（-1）≤0，即3+2a-4-1-2a≤0，恒成立；g（2）≤0，即12+8-4a-1-2a≤0，得a≥
19
6

綜上知，實數(shù)a的取值范圍a≥
19
6
點評：本題考查了抽象函數(shù)函數(shù)值，解析式，以及單調(diào)性的判斷，因為題目較抽象，做題時要細(xì)心．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島一模）已知函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），且當(dāng)x≠2時其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4則（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又?jǐn)?shù)列{an}滿足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
（ II ）求f（an）的表達(dá)式；
（III）設(shè)bn=
1
2log2|f(an+1)
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若T2n+1-Tn≤
m
15
（其中m∈N*）對N∈N*恒成立，求m的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•濱州一模）已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2
3
，f（C）=0，若向量
m
=（sinB，2）與向量
n
=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武清區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1，設(shè)M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax2+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，則實數(shù)a的取值范圍是
1
2
≤a≤1
1
2
≤a≤1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且當(dāng)x＞0時，f（x）=ln（x+1），則函數(shù)f（x）的大致圖象為（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案