Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°．側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求三棱錐G-CDP的體積；
（3）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先，證明△ABD為正三角形，然后，根據三角形的性質，得到BG⊥AD，最后，根據平面PAD⊥平面ABCD，得到BG⊥平面PAD；
（2）先證明PG⊥平面ABCD，然后，求解PG的長，最后，利用椎體的體積公式進行求解；
（3）先寫出結論：當F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD，然后，結合取中點，構造平行四邊形，證明FH⊥平面ABCD，最后，利用面面垂直的判定定理得證．

解答： 解：（1）證明：連結BD．
∵ABCD為棱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD為正三角形．
又G為AD的中點，
∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD．
（2）∵G為正三角形PAD的邊AD的中點，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD．
∵正三角形PAD的邊長為2，
∴PG=

3

．
在△CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，
∴S△CDG=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．
故VG-CDP=VP-CDG=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．
（3）當F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD．
取PC的中點F，連結DE，EF，DF，CG，且DE與CG相交于H．
∵E、G分別為BC、AD的中點，
∴四邊形CDGE為平行四邊形．
故H為CG的中點．又F為CP的中點，
∴FH∥PG．
由（2），得PG⊥平面ABCD，
∴FH⊥平面ABCD．
又FH?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABCD．

點評：本題綜合考查了空間中：線線平行、線面垂直、面面垂直等定理的應用，三角形的有關性質及其應用，本題中多次出現(xiàn)了中點問題，這在高考中經常出現(xiàn)，處理中點問題的方法口訣為：有中點，連中點，立馬得到中位線；無中點，取中點，相連得到中位線．