Question

已知向量

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x），函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S_△ABC為△ABC的面積，且f（C）=3，a=

3

，c=1，求 a＞b時(shí)的S_△ABC值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)形式，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的周期公式即可；
（2）由f（C）=3，求出C，再運(yùn)用余弦定理結(jié)合a=

3

，c=1，a＞b求出b，最后運(yùn)用面積公式S=

1

2

absinC即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)
=

3

sin2x+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由題設(shè)及（1）可知 f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3，
∴sin(2C+

π

6

)=1，
∵C是三角形的內(nèi)角，∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即 C=

π

6

．
又a=

3

，c=1，
∴在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得1=3+b2-2

3

×b×

3

2

，∴b²-3b+2=0，
∴b=1或b=2．∵a＞b，∴b=1，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

•1•

1

2

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變換和解三角形的知識，熟記三角公式和正弦、余弦定理以及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．