Question

7．在△ABC中，向量$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，P是BN上一點，若向量$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，則λ=$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 利用三角形法則，將$\overrightarrow{AP}$用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示．根據(jù)平面向量的三角形法則和平面向量的基本定理，列出方程組，解之即可．

解答 解：如圖．設$\overrightarrow{BP}$=x$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}+x（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}）$=$\overrightarrow{AB}+x（\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）$
=（1-x）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}x\overrightarrow{AC}$
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，∴得$\left\{\begin{array}{l}{1-x=λ}\\{\frac{1}{3}x=\frac{2}{11}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{11}}\\{λ=\frac{5}{11}}\end{array}\right.$
故答案為：$\frac{5}{11}$

點評 本題考查平面向量的三角形法則和平面向量的基本定理．