Question

16．如圖，上海迪士尼樂園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為游客體驗(yàn)活動區(qū)．已知∠A=120°，AB、AC的長度均大于200米．設(shè)AP=x，AQ=y，且AP，AQ總長度為200米．
（1）當(dāng)x，y為何值時？游客體驗(yàn)活動區(qū)APQ的面積最大，并求最大面積；
（2）當(dāng)x，y為何值時？線段|PQ|最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面積公式，基本不等式可得${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}xysin{120^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}xy≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{x+y}{2}）^2}=2500\sqrt{3}$，即可得解．
（2）利用已知及余弦定理可得PQ²=x²+y²-2xycos120°=（x-100）²+30000，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得線段|PQ|最小值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）因?yàn)椋篈P=x，AQ=y且x+y=200，…2分
所以：${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}xysin{120^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}xy≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{x+y}{2}）^2}=2500\sqrt{3}$．…4
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時，等號成立．
所以：當(dāng)x=y=100米時，${（{S_{△APQ}}）_{max}}=2500\sqrt{3}$平方米．   …6分
（2）因?yàn)椋篜Q²=x²+y²-2xycos120°
=x²+y²+xy…8分
=x²+（200-x）²+x（200-x）
=x²-200x+40000
=（x-100）²+30000．…10分
所以：當(dāng)x=100米，線段${|{PQ}|_{min}}=100\sqrt{3}$米，此時，y=100米．…12分
答：（1）當(dāng)AP=AQ=100米時，游客體驗(yàn)活動區(qū)APQ的面積最大為$2500\sqrt{3}$平方米．
（2）當(dāng)AP=AQ=100米時，線段|PQ|最小為$100\sqrt{3}$．…14分．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式，基本不等式，余弦定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．