Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$=3b，且△ABC的周長(zhǎng)為6．
（1）求b的值；
（2）若B=$\frac{π}{6}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換，進(jìn)行化簡(jiǎn)得出三邊成等差數(shù)列，再結(jié)合周長(zhǎng)即可求出b的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，寫(xiě)出△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB，利用基本不等式即可求出面積的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，2acos²$\frac{C}{2}$+2ccos²$\frac{A}{2}$=3b，
由正弦定理得2sinAcos²$\frac{C}{2}$+2sinCcos²$\frac{A}{2}$=3sinB，
即2sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+2sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=3sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得：a+c=2b；
△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=6
∴b=2；
（2）∵B=$\frac{π}{6}$，b=2，∴a+c=4，
∴△ABC的面積為
S=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{4}$ac≤$\frac{1}{4}$×${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$×${（\frac{4}{2}）}^{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取“=”，
∴△ABC的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理與三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等差數(shù)列與基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．