Question

我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家祖暅（公元前5-6世紀(jì)）提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．設(shè)：由曲線x²=4y和直線x=4，y=0所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為Γ₁；由同時滿足x≥0，x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為Γ₂．根據(jù)祖暅原理等知識，通過考察Γ₂可以得到Γ₁的體積為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．

解答： 解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，
用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，所得截面面積 S₁=π（4²-4|y|），
S₂=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S₂，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，
∵由同時滿足x≥0，x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，它應(yīng)該為一個大的球體減去兩個球半徑一樣的小的球體，體積為

4π

3

•4³-2•

4π

3

•2³=64π，
∴Γ₁的體積為32π．
故答案為：32π．

點(diǎn)評：本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．