Question

16．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，得到曲線C'，設(shè)曲線C'上任一點(diǎn)M（x₀，y₀），求M到的直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知極坐標(biāo)方程兩邊平方，即可求得曲線C的普通方程，消去參數(shù)t，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出伸縮變換后的曲線C'的方程，再求出與已知直線平行且與橢圓相切的直線方程，由平行線間的距離公式求得答案．

解答 解：（1）由ρ=2，得ρ²=4，即x²+y²=4．
∴曲線C的普通方程為x²+y²=4；
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t①}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t②}\end{array}\right.$，由①得：t=2$\sqrt{3}-2x$，
代入②得：$y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}（2\sqrt{3}-2x）$，整理得：$\sqrt{3}x+y-4=0$；
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{1}{2}y′}\end{array}\right.$，代入x²+y²=4，得$（x′）^{2}+（\frac{1}{2}y′）^{2}=4$，
即$\frac{（y′）^{2}}{16}+\frac{（x′）^{2}}{4}=1$，
∴曲線C'是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
設(shè)與$\sqrt{3}x+y-4=0$平行的直線方程為$\sqrt{3}x+y+m=0$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，得$7{x}^{2}+2\sqrt{3}mx+{m}^{2}-16=0$．
由△=12m²-28（m²-16）=0，解得m=$±2\sqrt{7}$．
當(dāng)m=$2\sqrt{3}$時(shí)，直線方程為$\sqrt{3}x+y+2\sqrt{3}=0$，此時(shí)直線與橢圓的切點(diǎn)到直線$\sqrt{3}x+y-4=0$的距離最大，為$\frac{|2\sqrt{3}+4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}=2+\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查兩平行線間的距離公式，是中檔題．