Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，且相交于點(diǎn)O，E是AB邊的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交CD于F．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°，求證S_△ODF：S_△ODC=1：4．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：（1）先證明△AOB≌△DOC，從而得出∠ODC=∠OAB，進(jìn)而可以證明結(jié)論；
（2）先證明△DOC∽△DFO，利用面積比等于相似比的平方比即可證明．

解答： 證明：（1）∵△AOB為直角三角形，且E 為AB邊的中點(diǎn)，∴EA=EB，∴∠EAO=∠EOA，∠EOB=∠EBO，
又△AOB≌△DOC，∴∠ODC=∠OAB，
∠EOB=∠DOF（對(duì)頂角），∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
（2）∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，
∴在Rt△DOF中，DF=

1

2

OD，△DOC∽△DFO，
∴根據(jù)面積比等于相似比的平方比，知S_△ODF：S_△ODC=1：4

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相似三角形的性質(zhì)，考查三角形全等證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．