Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{sinA}{sinB}$=-$\frac{sinC}{tanC}$．
（1）求$\frac{3{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$的值；
（2）若c=4，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求邊a，b．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理和余弦定理將角化邊，得出a，b，c的關(guān)系整理即可；
（2）用a，b表示出sinC，根據(jù)面積列方程，結(jié)合（1）的結(jié)論，聯(lián)立方程組解出a，b．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinA}{sinB}=-\frac{sinC}{tanC}=-cosC$，
∴$\frac{a}=-\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即3a²+b²=c²．
∴$\frac{3{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=1．
（2）∵cosc=-$\frac{sinA}{sinB}$=-$\frac{a}$，
∴sinC=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}$a$\sqrt{^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴a²（b²-a²）=12．
又$\frac{3{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=1，c=4，∴b²=16-3a²．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}（^{2}-{a}^{2}）=12}\\{^{2}=16-3{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，解三角形，利用正余弦定理邊角互化是解此類問(wèn)題的思路．