Question

19．已知平面四點A，B，C，D滿足AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，設△ABD，△BCD的面積分別為 S₁，S₂，則S₁²+S₂²的取值范圍是（　�。�

• A． $（{8\sqrt{3}-12，14}]$
• B． $（{8\sqrt{3}-12，8\sqrt{3}}]$
• C． （12，14]
• D． （12，28]

Answer 1

分析 在三角形ABD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD²，兩者相等表示即可得到cosC與cosA的關系式，利用三角形面積公式變形進而表示出S₁²+S₂²，得到關于cosC的二次函數，由$2\sqrt{3}-2＜BD＜4$可求cosC的范圍，利用二次函數性質即可求出S₁²+S₂²的取值范圍．

解答 解：因為：AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
在△ABD中，$B{D^2}=A{B^2}+A{D^2}-2AB•AD•cosA=16-8\sqrt{3}cosA$，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=8-8cosC，
所以：$\sqrt{3}cosA-cosC=1$，
所以：$S_1^2=\frac{1}{4}A{B^2}A{D^2}si{n^2}A=12-12{cos^2}A，S_2^2=\frac{1}{4}B{C^2}C{D^2}si{n^2}C=4-4{cos^2}C$，
所以：$S_1^2+S_2^2=12-12{cos^2}A+4-4{cos^2}C=16-4{（{cosC+1}）^2}-4{cos^2}C=-8{cos^2}C-8cosC+12$，
因為：$2\sqrt{3}-2＜BD＜4$，
所以：$8-8cosC=B{D^2}∈（{16-8\sqrt{3}，16}）$，
解得：$-1＜cosC＜\sqrt{3}-1$，
所以：$S_1^2+S_2^2=-8{cos^2}C-8cosC+12∈（{8\sqrt{3}-12，14}]$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數間的基本關系，以及二次函數的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．