Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₂[x²-2（2a-1）x+8]，a∈R．
（1）若f（x）在（a，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=1-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+3）在[1，3]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在（a，+∞﹚上為增函數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤a}\\{{a}^{2}-2a（2a-1）+8≥0}\end{array}\right.$，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）原方可化為x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即4a=x+$\frac{2}{x}$，x∈[1，3]，由雙勾圖形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在（a，+∞﹚上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤a}\\{{a}^{2}-2a（2a-1）+8≥0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{4}{3}$≤a≤1；
（2）原方可化為x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即4a=x+$\frac{2}{x}$，x∈[1，3]，由雙勾圖形可知：3＜4a≤$\frac{11}{3}$或4a=2$\sqrt{2}$，
即$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{11}{12}$或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查方程解的研究，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．