Question

19．已知拋物線C：x²=2y的焦點為F，P為拋物線C上任意一點，點M（-2，4^m-2^m+4），m∈R，則|MP|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{13}{4}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點和準線方程，判斷M在拋物線的開口之內(nèi)，過M作準線的垂線，交于N，當M．P，N共線時，|PM|+|PF|取得最小值，即為|MN|，再由配方結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：拋物線C：x²=2y的焦點為F（0，$\frac{1}{2}$），
準線方程為y=-$\frac{1}{2}$，
4^m-2^m+4=（2^m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$＞2，
可得M在拋物線的開口之內(nèi)，
過M作準線的垂線，交于N，
由拋物線的定義可得，|PM|+|PF|≥|MP|+|PN|，
當M．P，N共線時，|PM|+|PF|取得最小值，
即為|MN|=4^m-2^m+4+$\frac{1}{2}$=（2^m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{4}$，
當m=-1時，取得最小值為$\frac{17}{4}$．
故選D．

點評 本題考查拋物線的定義、方程的運用，考查最值的求法，注意運用定義法，結(jié)合兩點之間線段最短，考查運算能力，屬于中檔題．